PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề





Bài 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:



Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy

Bài 3 (3 điểm)
Giải phương trình:
a)

b)


Bài 4 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.

Bài 5 (2 điểm)
Cho (ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích (DME đạt giá trị nhỏ nhất.




HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008
Môn: Toán
Sơ lược lời giải và thang điểm

Bài 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:


Giải: ( n ( N, ta có:

(1)
(0,5 điểm)
Mặt khác:
(2)
(0,5 điểm)
Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được:


(0,5 điểm)

Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy
Giải: Ta có: (a – b)2 ≥ 0 ( (a + b)2 ≥ 4ab ( –4ab ≥ –(a + b)2. (0,5 điểm)
Áp dụng vào biểu thức A, ta có:
A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy
= 8 – 6xy + 2xy
= 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y)2 = 8 – 4 = 4 (0,5 điểm)
Dấu “=” xảy ra ( x = y mà x + y = 2 (gt) ( x = y = 1
Vậy: min A = 4 ( x = y = 1 (0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Giải phương trình:
a)
(1)
b)

Giải:
a) (1,5 điểm). Điều kiện:
(0,5 điểm)
Ta có: (1) (
(0,5 điểm)
(
(thỏa mãn)
Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 (0,5 điểm)
b) (1,5 điểm).
Ta có: 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4
5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9
Do đó:

Dấu “=” xảy ra ( x = –1 (1)
(0,5 điểm)
Mặt khác: 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2. Dấu “=” xảy ra ( x = –1 (2)
(0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra:
( x = –1.
Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1
(0,5 điểm)

Bài 4 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.
Giải:
– Từ C kẻ đường thẳng song song với BD
cắt AD tại N ( BCND là hình bình hành
Suy ra: BC = DN
(1 điểm)
– Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt)
Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM
Do đó: M là trung điểm của AN
(0,5 điểm)
– Vì CN // BC mà BD ( AC ( CN ( AC
Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến
( 2CM = AN. Hay: CM = AM
Vậy: ∆AMC cân tại M
(0,5 điểm)
Bài 5 (2 điểm)
Cho (ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích (DME đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
– Kẻ MF ( AB, MG ( AC
( AFMG là hình chữ nhật.
(0,5 điểm)
– Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG
(tính chất đường xiên, hình chiếu)
(0,5 điểm)
Do đó:

Dấu "=" xảy ra ( D ≡ F và E ≡ G
(0,5 điểm)
Vậy: Khi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC thì diện tích của (DME đạt giá trị nhỏ nhất.
(0,5 điểm)




Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên.