Chuyên đề bồi dương giáo viên

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT Đ̣NH

Phương pháp giải toán dựa trên cơ sở tính toán và biến đổi hệ số của đa thức người ta gọi là phương pháp hệ số bất đ̣nh. Phương pháp này được sử dụng rất tiện lợi khi giải toán về chia hết , phân tích thành nhân tử và rút gọn biểu thức .Nhưng do tŕnh độ có hạn nên tôi xin tŕnh bày một số hiểu biết của ḿnh về việc vận dụng phương pháp hệ số bất đ̣nh để giải một số dạng toán thông thường . Vậy tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này phát huy tác dụng trong việc dạy cho học sinh và bồi dươơng học sinh giỏi .Sau đây là một số nội dung chủ yếu
I ) KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 ) Đ̣nh lý :
a) Nếu đa thức bằng 0 với mọi giá tṛ của các biến th́ hệ số của các hạng tử đều bằng 0
Nếu đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 = 0 với mọi x ( Q th́ ai = 0 ( i = 0;1;2;3;... n)
b) Nếu hai đa thức cùng bậc mà hằng đẳng với nhau với mọi giá tṛ của các biến th́ hệ số của các hạng tử đồng dạng bằng nhau .
cho hai đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 và g(x) = bnxn+ bn-1xn-1 + ....+ b1x+ b0
Nếu f(x) = g(x) th́ ai = bi ( i = 0;1;2;3;.....n )
2 ) Đ̣nh lý Bơzu :
a) Đ̣nh lý : Nếu đa thức f(x) chia cho nḥ thức ( x - a ) có số dư r th́ r = f(a)
b) Hệ quả : Nếu đa thức f(x) chia hết cho ( x- a) th́ f(a) = 0
Từ hệ quả ta suy ra nếu đa thức f(x) chia hết cho (x - a) th́ khi phân tích đa thức f(x) thành nhân tử th́ có chứa thừa số là x-a . Điều này có nghĩa f(x) ( ( x - a) th́ f(x) = (x - a ) .q(x)
II ) LOẠI TOÁN VỀ TÍNH TOÁN HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC
Bài 1 : Không làm phép tính , haơy viết đa thức sau dưới dạng chính tắc
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3
Giải : đa thức trên sau khi biến đổi là đa thức bậc 3 đối với biến x , do vậy sau khi biến đổi có dạng
A x3 + Bx2 +Cx + D . Theo bài ra ta có
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = A x3 + Bx2 +Cx + D với mọi x(Q
cho x = 0 th́ D = 3
cho x = 1 th́ A + B + C + D = 3 ( A + B + C = 0 (1) ;
cho x = - 1 th́ -A + B - C + D = -7 ( -A + B - C = - 10 (2)
cho x= 2 th́ 8A + 4B + 2C + D = 2 ( 4A + 2B + C = 1 (3)
Lấy (1) + (2) ta được 2B = - 10 ( B = - 5 ( A + C = 5
Từ (3) ta có 4A + C = 11 ; cho nên ( 4A + c) - ( A + C ) = 3A = 6 ( A = 2 và C = 3
Vậy đa thức cần t́m là 2x3 - 5x2+ 3x + 3 hay
(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = 2x3 - 5x2+ 3x + 3
Bài 2 ) Viết đa thức 3x3 + 4x - 5 dưới dạng luơy thừa giảm dần của x - 1.
Giải
Cách 1: Ta có 3x3 + 4x - 5 = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d
= a x3 + ( b - 3a)x2 + (3a - 2b + c)x -a + b - c + d
cho nên a = 3
b - 3a = 0
3a - 2b + c = 4 ( a = 3 ; b = 9 ; c = 13 ; d = 6
-a + b - c + d = -1
cách 2 : cho x = 1 th́ d = 6
cho x = 0 th́ -a + b - c + d = -1 ( -a + b -